Constantes del movimiento

Uno de los principios más importantes en físicas son las leyes de conservación.
Si tenemos un sistema dinámico, es decir cualquier cosa que evolucione en el tiempo, el objetivo de la mecánica es obtener la mayor información acerca de su evolución temporal.
Es evolución temporal se obtiene a partir de una ecuación del movimiento (ley de Newton, ecuaciones de Lagrange, ecuaciones de Hamilton o canónicas en mecánica clásica, o ecuación de Schrodinger en mecánica cuántica).
Generalmente esta ecuación es irresoluble exactamente, salvo en casos muy especiales. Esto nos impide conocer perfectamente lo que harán las partículas o en general, el sistema.

Ahi es donde surge la importancia de las leyes de conservación. Una ley de conservación es algo que afirma que una cantidad (función) no depende es constante en el tiempo.
Tenemos un instante inicial, luego el sistema interacciona (evoluciona) y no hay manera de saber que va hacer exactamente. Pero si sabemos cosas estado final (o cualquiera intermedio), existirán constantes del movimiento que nos permitirán saber cosas sobre el sistema.

Las leyes de conservación tiene poco de leyes (o principios), son más bien consecuencias de la simetría de un sistema.
Desde un punto de vista matemático, si la ecuación de evolución posee una simetría (es invariante bajo un grupo de transformaciones) entonces existe una cantidad que se conserva (constante del movimiento). Esto constituye el teorema de Noether (en honor a la matemática Emmy Noether que la enuncio en el ámbito de las matemáticas puras).
Es mas hay formulas para calcular a partir de la simetría la cantidad conservada.
Desde un punto de vista físico las leyes de conservación se obtienen de manera mas intuitiva.
Por ejemplo, en un sistema que no cambia en el tiempo (esta cerrado) la energía se conserva.
Si un sistema no cambia si el observador se desplaza (es el mismo sistema pero desplazado) entonces la cantidad de movimiento se conserva.
Si no cambia bajo rotaciones (simplemente es el mismo sistema rotado, pero las fuerzas, o interacciones son las mismas) entonces cambia el momento angular.

Queda el problema de definir energía, cantidad de movimiento y momento angular.....
algo que a partir de la ecuación del movimiento y la simetría es fácil calcular matemáticamente.
Aquí hay que tener ojo, en este caso las matemáticas son hijas de la física.
Es decir estamos buscando la evolución del sistema a partir de una ecuación (matemáticas) que hemos obtenido bajo consideraciones físicas. Si queremos resultados matemáticos, por supuesto que va a ser mas fácil utilizar matemáticas que mediante razonamientos físicos.
Pero las matemáticas nos pueden esconder la "verdad" del asunto.

Consideremos un caso para ver todo esto.
Un electrón se acercan desde gran distancia (consideraremos solo mecánica clásica) a una carga negativa de masa muy grande, que consideraremos fija.

La fuerza de interacción viene dada por la ley de Coulomb F = (Kq²/r²)r

Cuando r es muy grande la fuerza es nula y no hay interacción.
Cual será la energía inicial?
Como las partículas inicialmente no interaccionan (están aisladas) podemos considerar que sera las suma de su energías cinéticas mv²/2.
Las partículas se acercan y empiezan a interaccionar.
Si planteamos la ley de Newton (en este caso si que se puede resolver exactamente, saldrán trayectorias hiperbólicas) y la integramos obtenemos la energía como E = mv²/2 - Kq²/r
Cual es la energía del electrón??
Preguntaros también cual es la energía de la carga fija.
Imaginaros que os tiran una pelota despacio, os hará poco daño. Si la tiran muy rápido os hará más daño.
La energía de una partícula es siempre su energía cinética. El resto de la energía es siempre la energía de la interacción (del campo, en este caso el campo eléctrico).
Como podríais medir la energía potencial?
No hay manera, solo se puede medir la potencial (midiendo masa y velocidad). La energía potencial
aparece en mecánica como consecuencia de la ecuación de movimiento y de la simetría en en el tiempo que nos permite integrarla (a las constantes del movimiento también se las suelen llamar integrales del movimiento)
La energía del electrón es mv²/2, y va intercambiando energía con el campo (en cuántica se iría intercambiando fotones).
Pensad que cuando se acerca la velocidad disminuye (se repelen).
La partícula fija no tiene energía, simplemente genera el campo.

Veamos con detalle las simetrías del sistema a partir de la ecuación del movimiento

F = (Kq²/r²)r = ma

La ecuación no depende explícitamente del tiempo (no cambia si hacemos t´ = t + e, para todo e).
De esta simetría sale la conservación de la energía. Si que depende implícitamente del tiempo, ya que depende de r (la distancia) que si cambia en el tiempo.
Si hacemos una traslación de las coordenadas tampoco cambia, pensad que r es la posición relativa de ambas partículas.
De esta simetría sale la conservación de la cantidad de movimiento p = mv.
Tampoco cambia si rotamos las coordenadas, y de aquí sale la conservación del momento angular
L = r x p

Para terminar diré que una simetría (continua) implica una ley de conservación pero que el reciproco no tiene porque ser cierto.