Integrales

Las mayoría de las teorías matemáticas surgieron como respuesta a un problema.
Esto esta en oposición a como se enseñan las matemáticas. Nos sueltan la teoría y luego a hacer problemas. No es de extrañar que los problemas nos dejen fríos.
Tened en cuanta que lo natural es enfrentarse a un problema, comprenderlo (intuir los teoremas)
y luego definir los conceptos (definiciones). Y las matemáticas se enseñan al revés.

Las integrales surgen al intentar calcular áreas.
Tenemos una curva (función) cualquiera y queremos saber que área hay debajo.
Sabiendo cual es la función que define los bordes de una superficie podríamos entonces calcular su área.
Como se abordo el problema?
Pues bien, sabemos calcular el área de un rectángulo, es el producto de sus lados (esta es prácticamente la definición clásica y intuitiva de área).
Lo que hicieron es dividir el área en rectángulos (ver figura).

El área buscada sera aproximadamente la suma de las áreas de los rectángulos.
Cuanto mas finos sean los rectángulos mejor será la aproximación.
Los matemáticos definieron la integral como el limite de estas aproximaciones.
Por supuesto lo hicieron con mucho rigor definiendo sumas superiores y inferiores, refinamiento de una partición y otros conceptos.
El caso es que si la curva tiene cierta propiedades, por ejemplo si es continua, este limite existe (esta bien definido).
Así pues la integral es una expresión del área bajo la curva.

Ahora bien, había un problema técnico, como calcular este limite tan raro?
Se trata de un limite sobre la norma de la partición (la anchura del rectángulo mas ancho).
Esto solo se podía calcular para alguna funciones y no era nada trivial.
Como el limite si existe es único, se definía una partición (segmentación del intervalo) a intervalos iguales de longitud l y luego se hacia tender l a 0.
Se calculaba el limite de la suma, si se podía, y teníamos la integral.


Afortunadamente Riemann se dio cuenta de lo siguiente.
Si definimos un función F(x) como la integral de la función f entre un punto fijo y otro variable x, resulta que la derivada de F(x) es justamente f(x).
Esto se conoce como teorema fundamental del calculo integral.

Esto resulta muy útil para calcular integrales. A partir del calculo sabemos en que si dos funciones tienen la misma derivada entonces se diferencian en una constante (pensad que su diferencia debe tener derivada cero por tanto es constante).
Por lo tanto, si tenemos una función G(x) cuya derivada es f(x) entonces F(x) y G(x)
tienen la misma derivada por lo tanto se diferencian en una contante que se puede hallar fácilmente :).

A G(x) se la llama primitiva de f(x) y de ahí que insistan tanto en el calculo de primitivas.

Como curiosidad diré que el teorema fundamental del calculo admite generalizaciones a mas dimensiones, por ejemplo teoremas de Gauss (3D), de Stokes (2D), o en general teorema del calculo exterior.
Básicamente se trata de hallar los valores que toma la derivada de una función sobre una variedad de n+1 dimensiones a partir de los valores que toma la función en la frontera n dimensional de la función.