Mecanicas, en fisica

Bueno vamos a describir por encima la mecánica clásicas, es decir la descripción y calculo de las trayectorias de los cuerpos. Lo de clásico se refiere a anterior de la relatividad y teoría cuántica (es decir anterior al siglo 20).
Veamos sus formalismos (diferentes descripciones matemáticas). Será un acercamiento cualitativo, sin rigurosidades matemáticas, el que quiera más, que coja un libro y a empollar.

Formalismo Newtoniano.

El gran Isaac Newton baso toda su mecánica en la conocida ley que la suma de las fuerzas son iguales a la masa por aceleración
(F=ma) o algo mas general, fuerza igual a variación en el tiempo de cantidad de movimiento
(F = dp/dt, con p = mv).

Que hay detrás de todo eso?
Newton se dio cuenta de que el movimiento es relativo, no podemos decir de manera absoluta si algo esta quieto o se mueve puesto que es algo relativo al observador. Sin embargo el hecho de que cambie su estado de movimiento es menos dependiente del observador.
Esto esta en sintonía con el principio de relatividad de Einstein, las leyes de la física no deben depender del sistema de referencia. Distintos observadores ven lo mismo de diferente forma. La ecuación de Newton cumple este principio algo chapuceramente (solo para sistemas de referencia inerciales) y tiene que ver con la definición de derivada que hizo (esto tiene que ver con el carácter local del tiempo, hay que meter geometría diferencial...). El problema es que las fuerzas no dependen del sistema de coordenadas (siempre tienen la misma forma) como debe ser, pero la aceleración no cambia bien de un sistema de referencia a otro (es un vector malote, solo se comporta como vector entre sistemas de referencia inerciales, y ahí surge el problema).
Hay que empezar a meter fuerzas ficticias como la centrifuga para seguir respetando la ley...

Como se come la ley de Newton?
Con mucho ojo, todo lo que es capaz de cambiar el estado de una cosa se llama fuerza.
Tenemos que saber todas las fuerzas que actúan sobre la partícula, hallar su suma y a partir de su ley tenemos la aceleración de la partícula.
Con la aceleración de la partícula podemos calcular (integrando :D) la posición como función del tiempo y el problema esta resuelto.
Necesitamos además dos condiciones, la velocidad y la posición iniciales (o dos datos equivalentes). Pensad que la ecuación de Newton nos dice como evoluciona un sistema en el tiempo, no su estado inicial).

Formalismo Lagrangiano.

Aprovecha los trabajos de Joseph-Louis Lagrange, matemático francés para hacer una mecánica alternativa.
En esta mecánica, todo sistema (por ejemplo una partícula sometida a una fuerza) viene descrito por una función, el lagrangiano del sistema L, función de unas coordenadas llamadas generalizadas q y de sus derivadas en el tiempo q´.
En ciertos casos, los mas usuales, el lagrangiano es la energía cinética menos la potencial expresado en estas coordenadas.
Las ecuaciones del movimiento las podéis ver en http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Euler-Lagrange
Lagrange fue el calculo de variacional (Newton lo fue de el diferencial, a la vez que Leibniz)
y de ahí que este formalismo lleve su nombre.
Lo bueno de este método es el uso de una coordenadas generalizadas que nosotros podemos "elegir"
y que se adaptan mejor al problemas que estamos analizando. De aqui resultan unas ecuaciones mas sencillas (pero equivalentes) a las de Newton).


Formalismo Hamiltoniano.

Es el formalismo más elegante y potente. Y el más matemático.
Resulta de hacer unas transformaciones de Legendre del formalismo lagrangiano a partir de las derivadas de las coordenadas.
Vamos que lo que se viene a hacer es a las derivadas de las coordenadas considerarlas variables independientes y llamarlas momentos conjugados de las coordenadas originales.
También hay que transformar el lagrangiano para obtener una ecuaciones del movimiento equivalentes. Se obtiene entonces el Hamiltoniano del sistema (que normalmente es la energía del sistema).
Consultar la pagina http://personales.ya.com/casanchi/fis/hamilto01.htm#03 para una explicación muy detallada del asunto...
Que aporta este método?
Dos cosas sobre todo, si tenemos un sistema de n grados de libertad ahora pasamos a tener uno de 2n por haber considerado los momentos como variables independientes. Podemos hacer muchas mas transformaciones a la hora de buscar ecuaciones de movimiento mas sencillas.
Es algo que es matemáticamente mas natural, y de hay nace toda la potencia y elegancia del método. Por ejemplo se tomo el formalismo Hamiltoniano como método de partida para la mecánica cuántica.
Recordad que para un sistema de n dimensiones (o n grados de libertad de una manera mas general)
necesitamos 2n condiciones iniciales (posiciones Y velocidades iniciales).
El incorporar las velocidades como grados de libertad no hacen que todo sea más natural desde el punto de vista matemático.


Bueno pues esta es una breve introducción cualitativa a la mecánica clásica, hay mucho mas que decir. Pero todo viaje empieza por un paso....