El binomio de Newton

Esta es una de las primeras formulas matemáticas que se aprenden en el colegio y que al principio resultan sorprendes.
Esta formula fue descubierta por Abu Bekr Muhammad ibn al-Hasan al-Karaji alrededor del año 1000, aunque fue Newton el que la generalizo a exponente real (como serie infinita).
Vamos a ver dos maneras de demostrarla de una manera sencilla, aunque tal vez no muy rigurosa.
Primero notación, por comodidad tipográfica.
Usaremos el convenio de Einstein para sumas, es decir, si aparecen en una formula índices repetidos se sobreentiende que estamos sumando sobre ese índice.
Escribiremos x elevado a n como x[n].
A las combinaciones de N elementos tomados de M en M (es decir a los conjuntos diferentes de M elementos que podemos formar a partir de N elementos) lo denotaremos C(n,k).
Así la formula del binomio queda

(a+b)[n] = C(n,k)a[k]b[n-k]

y C(n,k) = n!/k!(n-k)!

Para el primer método hay que ver cosas de combinatoria.
Cuantas permutaciones de N elementos hay?
Supongamos que el numero de permutaciones de ( N-1) elementos fuera K,
entonces si añadimos un elemento, por cada una de esa permutaciones podemos colocar el nuevo elemento en N sitios, con lo cual tendremos KN permutaciones. Por inducción queda "claro" que las permutaciones de N elementos son N!.
Cuantas combinaciones de N elementos tomados de M en M hay?
Vamos a ver que N! = C(N,M)M!(N-M)!
Se trata de ver como podemos contar el numero de permutaciones.
La idea básica es que en las combinaciones el orden de los elementos no importa, pero en las permutaciones si.
Cada combinación de elementos divide el conjunto en dos trozos, uno de M elementos y otro de N-M.
Cualquier permutación de los K elementos y de los N-M mantiene la estructura de la combinación, pero nos genera una nueva permutación. Es decir, que por cada grupo de M elementos que podamos pormar habrá M!(N-M)! permutaciones. Como podemos formar C(N,M) grupos entonces

N! = C(N,M)M!(N-M)!

Vamos ahora a demostrar la formula del binomio.
(a+b)[n]=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)......(a+b) n veces
De ahi podemos ver que (a+b)[n] se podra escribir como
(a+b)[n] = C(n,k)a[k]b[n-k]
Esta expresión es debida a que solo aparecen terminos sumando,
faltará ver que C(n,k) son las combinaciones de n elementos tomados de k en k.
La suma de los exponentes de todos los términos debe ser la misma, esto se puede ver tomando
a=b=K.
Como obviamente la suma de los exponentes de cualquier termino no puede ser mayor que n,
si dividimos por K[n] en ambos lados vemos que si K tiende a cero un miembro divergirá y el otro no, lo que es una contradicción.
Un corolario a esto es que la suma de todos los coeficientes debe ser 2[n].
Como obtenemos el termino a[k]b[n-k]?
De los n factores (a+b) hay que elegir k veces la a como factor.
Esto se puede hacer de C(n,k) = n!/k!(n-k)! maneras como vimos en combinatoria.

La otra manera va a ser de tipo inductivo.
Hallemos que ecuación de recurrencia deben cumplir los coeficientes:
(a+b)[n+1]=(a+b)[n](a+b)=(a+b)C(n,k)a[k]b[n-k]
De igual manera:
(a+b)[n+1]=C(n+1,k)a[k]b[n+1-k]
Por comparación de ambas expresiones se debe cumplir que
C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n+1,k)
Los números C(n,k) = n!/k!(n-k)! son justamente los que cumplen esta relación.
La demostración se puede hacer más rigurosamente por inducción, pero esto es lo que hay detrás.