Teorema de Pitagoras

Teorema de Pitagoras

El Teorema de Pitagoras es uno de los clásicos de las matemáticas.
Fue enunciado por Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 adC - 507 adC, filósofo y matemático griego) y es uno de los pilares de la geometría.
Aparece incluso en espacios de dimensión infinita (espacios de Hilbert).
El teorema afirma que para un triangulo rectángulo (aquel que tiene un ángulo recto)
el cuadrado de la hipotenusa c (el lado mas largo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b (lados adyacentes al ángulo recto).
Matemáticamente

a² + b² = c²

Básicamente el teorema es una manera de calcular distancias.
En geometrías mas complejas, la distancia es una función de la posición, aunque este viejo teorema tiende a reaparecer localmente, o al menos expresiones que lo recuerdan mucho.

Aquí muestro dos demostraciones sencillas de este teorema.

Si dividimos toda la expresión por c, vemos que el teorema de Pitagoras es equivalente a

sen² x + cos² x = 1

Siendo x uno de los ángulos (depende quien sea a y quien b)
Sea la función f(x)= sen² x + cos² x
Entonces derivando f´(x) = 0, entonces es f(x) debe ser constante.

f(x)= f(0) = 1 = sen² x + cos² x

La clave es esta demostración es que la derivada del seno es el coseno y la del coseno es el seno. Esto no es trivial, depende mucho de como definamos coseno y seno para demostrarlo.

La siguiente demo es mas sencilla aun, aunque es aun menos rigurosa.
Partimos de un triangulo rectángulo de catetos A y B, y hipotenusa C.
Dibujamos un cuadrado que repose en la hipotenusa y rellenamos los otros lados con
triángulos rectángulos iguales al de partida hasta obtener la figura que tenemos mas abajo.
Cual es área?
Hay dos maneras de calcularla:
A partir de sus trozos
- AREA = CUADRADO DE LADO C + 4 TRIANGULOS RECTANGULOS
A = C² + 4x(AB/2) = C² + 2AB

A partir del área del cuadrado de lado A + B (el total)
- AREA = (A + B)² = A² + B² + 2AB

Igualando ambas áreas vemos que A² + B² = C² :)