Estadisticas cuanticas

Existe algo muy misterioso en física: las "particulas" se dividen en fermiones o bosones.
Empecemos por el principio.
Supngamos que tenemos un sistema con varias particulas identicas.
La mecanica cuantica postula que entonces dichas particulas son indistinguibles. Realmente lo expresa de la siguiente manera.
Sean r1, r2, ....., rn los vectores de posicion de las n partículas.
Entonces si f(r1, r2, ....., rn) es la función de ondas del sistema, f debe tener la siguiente propiedad matematica:
i) o bien f(r1,r2,....rn)=f(r2,r1,....rn)
ii) o bien f(r1,r2,....rn)=-f(r2,r1,....rn)
Por sencillez hemos permutado r1 y r2, pero debe ser para cualquier permutación de las coordenadas.
Las primeras partículas se llaman bosones y a las otras se las llama fermiones.
Esto es un postulado, derivado de curiosos hechos experimentales.
Lo de bosones es debido a que las particulas que cumplen la propiedad i) en mecanica estadistica cumplen la estadistica de bose-einstein. Por ejemplo los fotones la cumple (radiación del cuerpo negro).
Lo de fermiones viene de la estadistica de Fermi-Dirac. Por ejemplo los electrones en un conductor la cumplen.
La mecanica estadistica es la parte de la física que estudia los sistemas com muchisimas particulas. Parte de las propiedas microscopicas (las particula, energía cinetica....) para obtener las propiedades macroscopicas que estudia la termodinamica.
Existe un hecho experimental que se ha admitido como postulado:
las particulas con spin entero son bosones, y las de spin semientero son fermiones.
El spin es algo misterioso para nosotros. Es una propiedad más de las partículas, como la carga o la masa. Es como un momento angular (como si las particulas girasen), aunque describir correctamente lo que es el spin es complicado, simplemente dejemoslo en que es una propiedad intrinseca de cada particula, y que es perectamente medible.
De hecho commuta con los operadores espaciales (es perfectamente medible).
Es como una dimensión adicional de las partculas. Por ejempo una particula de spin 1/2 tiene 2 componentes. Para no complicar las cosa y desviarnos demasiado dejemoslo aqui.
Vayamos a lo importante, el comportamiento de bosones y fermiones es completamente diferente.
Dos fermiones no pueden estar en el mismo estado cuantico! (si asi fuera la función de ondas sería 0 lo que no es aceptable).
Por ejemplo esto lleva al primcipio de exclusion de Pauli, que es la base de la tabla periodica.
Dado que la energía, realmente los campos, están cuantificado. esto implica que hay que ir llenando los niveles. Es como si los fermiones ocuparán espacio.
Lo bosones no, estos pueden estar todos en el mismo estado. Cuando este estado es el fundamental (el de menor energía) se dice que tenemos una condensacíon de bose-einstein.
Aqui empieza lo intereseante.

Consideremos un gas formado por helio 3 (el nucleo tiene 2 protones y 1 neutron) y otro por helio 4 (2 protones y 2 neutrones). El primero es fermion y el otor boson.
Sus propiedades electricas son las mismas, por lo que sería normal esperar que sus propiedades quimicas tambien lo fueran.
Pero no es asi, el helio 4 condensa antes!

Otro ejemplo es la superconductividad. A partir de cierta temeperatura, los electrones de un metal empiezana interaccionar por parejas, forman lo que se llaman pares de Cooper. El electrón tiene spin 1/2. El par tiene espien 1/2+1/2=1.
Pasamos de tener fermiones a bosones, se producecondenssacion de bose-einstein y el material se vuelve semiconductor.

Que hay detrás de esta dualida entre fermiones y bosones?
Lo unico claro es la relacíon que hemos dicho con el spin.
La formulación de la mecanica cuantica tambien deja que desear, tenemos partículas identicas y si embargo las indexamos, aunque luego exijamos que existan un cierta propiedad al permutar los indices que refleje esta indistinguibilidad.