Mecanica Cuantica, un ejemplo importante

Vamos a clarificar un poco los conceptos de la mecánica cuántica a partir de un ejemplo importante:
el oscilador armónico.
En mecánica clásica, el oscilador armónico es una partícula de masa m sometida a una fuerza de la forma F=-kx. El caso tipico es una bola enganchada a un muelle.
La bola y el muelle se intercambian constatemente energía, siendo p²/2m la energía de la partícula (tiene energía cinética) y kx²/2 la energía del "campo" (el muelle, tiene energía potencial).
La ecuación de evolución es la de Newton

F = dp/dt

p=mv es el momento lineal (o cantidad de movimiento).
v=dx/dt es la velocidad de la particula.
Con lo cual la ecuación a resolver es:
md²x/dt² = -kx

La solución general es

x(t) = A sen(wt+Ø)

w es la frecuencia de oscilación.
Ø, A son constantes que están dadas por el estado inicial de la particula.
El sistema es conservativo, el hamiltoniano no depende del tiempo.
Por tanto el hamiltoniano es una constante del movimiento y nes igual a la energía kA²/2

H = p²/2m + kx²/2 = E

Veamos ahora el oscilador armonico en mecánica cuantica.
El operador posición X viene dado por la multiplicación por la variable x ( X[f] = xf) y el momento lineal P por la derivada respecto a x (P[f]) -ihdf/dx).
De nuevo h es h barra, la constante de Planck dividida òr 2 pi).
Para construir el resto de operador simplemente se sustituyen estos operadores en sus expresiones clasicas.
En particular el hamiltoniano:
H = P²/2m + kX²/2
Para resolver la ecuación de Schrödinger encontremos los autovalores del hamiltoniano, y sus correspondientes autovectores (álgebra lineal).

Hf = Ef

Donde E es el autovalor y f la autofunción.
Sustituyendo, la ecuación a resolver es

(-h²/2m)d²f/dx² + kx²f/2 = Ef

Las soluciones deben estar normalizadas a 1 (su integral a todo el espacio, todo x en este caso, debe valer 1) para cumplir el primer postulado.
Con esta condición, las soluciones vienen dadas por un parámetro entero no negativo n.
Para cada n, la solución es el producto de un polinomio de grado n (un polinomio de Hermite) y una gaussiana.
Lo sorprendente es que la correspondiente energía es

La energía esta cuantificada, y no puede ser nula. El estado fundamental tiene una energía mayor que 0, el sistema no puede estar "quieto".

Otro rasgo importante es que los niveles no están degenerados, para cada nivel de energía hay un solo posible autoestado. Así pues, midiendo las energía sabemos unívocamente el estado del sistema.
Al ser un autoestado de H, por la ecuación de Schrödinger

f(x,t) = exp(-iEt/h) f(x)

Siendo f(x) la autofunción con autovalor E.

La importancia del oscilador es que todo potencial par puede ser aproximado por un potencial cuadrático (oscilador), que es uno de los pocos casos que se puede resolver exactamente en cuántica.
Muchos sistemas se pueden modelizar, satisfactoriamente, por un conjunto de osciladores.
La ecuación del oscilador posee muchas simetrías, de ahí la posibilidad de su solución .Por ejemplo no cambia cualitativamente si cambiamos X por P y viceversa. Existe una relación directa a través de la transformada de Fourier entre los operadores X Y P. De ahí que no es sorprendente que las soluciones de esta ecuación sean funciones que no cambien de manera cualitativa al hacerles la transformada de Fourier.

Otro ejemplo interesante es la partícula libre, es decir no sometida a ningun campo.
En este caso H = P²/2m
y la ecuación para la energía es


(-h²/2m)d²f/dx² = E f(x)

La soluciones son de la forma

f(x) = A exp (iwx)

Aquí A es compleja (equivale a la dos constantes reales del caso clasico).
El problema es que estas funciones no son normalizables.
Este problema se aborda de dos maneras:

-la particula no es totalmente libre, esta confinada a una caja,
por ejemplo en una dimensión 0 < x < L.
Esto impone que fuera de allí no hay "partícula" (f(x) = 0 fuera de es región) que es la que nos
da una cuantificación para la energía.
Implícitamente es considerar el universo finito.

-perdiendo rigor matemático. La función de ondas es la suma infinita continua (una integral) de
estas funciones. Cada una evoluciona en el tiempo con su factor exp(-iEt/h).
Matemáticamente es una integral de Fourier.
A esto se llama paquete de ondas.