Números reales

Un número racional es aquel que se puede escribir como el cociente de dos números enteros.
Computacionalmente esto significa que se puede almacenar con toda precisión.
También que es medible, al menos teoricamente con una regla.
A un número que no es racional se le llama número irracional.
Aquí entran en juego finezas matemáticas para construir lo que se llaman los números reales, que en esencia son cualquier número que se puede construir en la realidad.
Hay dos formas típicas de construir los números reales, ambas de naturaleza topológica.
Esto contrasta con el origen de los números racionales y de los complejos, cuyo origen es más algebraico, al menos en origen...

La primera forma es considerar conjuntos de racionales. Por ejemplo los racionales cuyo cuadrado es 2. Esta claro que dicho conjunto esta acotado, pero no tiene un máximo. Mediante un formalismo matemático acerca de conjuntos, este conjunto representa en numero real raíz cuadrada de 2.
Este es un simple esbozo de como va la cosa... los números reales se convierten en la clausura topológica de los racionales (es como rellenar los huecos que existen, aunque esto desafie a la intuición es así...).

Lo otra forma es más sencilla, pero relacionada. Tomamos sucesiones de Cauchy de racionales.
Un sucesión de números es de Cauchy si la distancia entre sus términos tiende a 0.
Para los números racionales existen sucesiones de Cauchy que no tienen limite. Lo que ocurren es que tiende a números irracionales. Asi que lo que se hace es identificar a las sucesiones de Cauchy como un número racional. De nuevo hay finezas matemáticas por medio. Por ejemplo de utilizan relaciones de equivalencia para asegurar que sucesiones que tiendan a lo mismo sean equivalentes. Se toma el espacio cociente y ya tenemos los reales.
Un espacio cociente es coger un conjunto, definir una relación de equivalencia y trata esa relación como si fuese la igualdad (elementos que son equivalentes, son iguales en el espacio cociente).
Como curiosidad, un espacio donde toda sucesión de Cauchy tiene limite se llama espacio (métrico) completo. El reverso siempre es cierto, toda sucesión con limite (se dice convergente) es de Cauchy.
En los espacios completos son conceptos equivalentes.
Por construcción los números reales son un espacio completo.

PD: Existe la costumbre de en matemáticas no decir lo "evidente".
Por ejemplo aquí cuando decimos que los reales son completos, o que una sucesión es de Cauchy, o que el limite es cual, también debería decirse en que topología.
Esto ocurre en todas las ramas de las matemáticas, por ejemplo cuando hacemos una suma infinita (una serie) lo que estamos escribiendo es el limite de una suma. Igual que cuando escribimos integral es también el limite de una suma.
Por no sobrecargar las cosas "obvias" (concepto muy relativo) no se escriben expícitamente.