Más topología, es la guerra!

Veamos más cosas de topología.

La base de una topología son los abiertos (son sus elementos). De donde surge el nombre?
La topología más conocida es la topología usual. Se llama así porque es la que se estudia en el instituto. Cuando decimos cual es estamos utilizando la topología usual. Lo mismo que cuando hacemos limite de senx/x cuando x tiende a 0.
Revisar la definición de limite (que es un concepto topológico).
Cuales son los abiertos de esta topología?
Simplemente (básicamente, hay un par de finezas matemáticas por ahí) son los intervalos abiertos de la forma (a,b). De ahí el origen del nombre abierto.
Y porque en el instituto no mencionan la palabra topología?
Pues justamente porque se trata de una topología métrica (la distancia entre dos puntos es|a-b|). Los abiertos son las bolas definidas con esta métrica, en esencia.
No hace falta meter toda la artillería de la topología para las cosas "sencillas" del calculo.
Por cierto que el limite no es único. Por ejemplo con la topología indiscreta cualquier punto es
el limite de 1/n cuando n tiende a infinito, esta topología no distingue nada...
En los espacios métricos si se cumple que el limite es único, si existe...

En relación a esto, hablemos de los espacios de Hausdorff (en honor a Felix Hausdorff, 1866-1942).
Un espacio topológico se dice de Hausdorff si para cualquier par de puntos existen dos entornos de esos puntos cuya intersección es vacía (no tienen puntos en común). Un entorno de un punto es un conjunto que contiene un abierto que contiene al punto.
En palabras, un espacio de Hausdorff es un espacio topológico que distingue puntos.
Todo espacio métrico (como espacio topológico) es espacio de Hausdorff, pero el inverso no es cierto, sino vaya avance...
Los espacios de Hausdorff son desde el punto de vista topológico un refinamiento de los métricos.

Un concepto más complejo es el de conjunto compacto. Os dejo con la definición de la wikipedia
Espacio compacto
Es un concepto raro. En matemáticas muchas veces el efecto es anterior a la causa.
Aparece un problema. Se estudia. Se descubren cosas nuevas, nuevos conceptos. Se crea una nueva teoría. Vamos al revés de como se enseñan luego las matemáticas.
En este caso supongo que el concepto de compacto vino de este resultado o de su estudio
Heine-Borel
De nuevo estamos en R pero con n dimensiones. Para estos espacios un conjunto es compacto si es cerrado y acotado. Son propiedades equivalentes.
Pero en otros espacios esto no es así, sobre todo para los de dimensión infinita (típicamente en espacios de Hilbert de dimensión infinita). Que un conjunto sea acotado le da muchas propiedades, de ahí su interés.

Muchos conceptos que conocemos, como continuidad, cerrado, denso, clausura ,limite y muchos más tienen su generalización topológica.
Muchos teoremas se generalizan y admiten nuevas formulaciones, todo esta relacionado (por ejemplo cosas como que los números racionales son densos dentro de los reales, teorema del calculo exterior, que generaliza y une al teorema fundamental del calculo, al de Gauss y al de Stokes...).
Además de nuevos conceptos como homología y homotopia. Además la topología guarda una intima relación (mmmm....) con el resto de las ramas de las matemáticas.
Y muchas más cosas.
Si queréis saber más, como diría Homer Simpson, Al almacén de los libros!