Que es la topología?

De manera intuitiva, la topología es la parte de las matematicas que estudia las propiedades de un cuerpo que no cambian si deformamos el cuerpo.
Una definicíon más matemática es el estudio de las propiedades de un conjunto que son invariantes bajo homeomorfismos (aplicaciones continuas con inversa tambien continua, es decir, deformaciones "suaves" del conjunto).
La definición general de topolgía es mucho mas abstracta.
Sea A un conjunto, y T un subconjunto de partes de A , P(A) (es decir, un conjunto de conjuntos de elementos de A). Entonces se dice que A con T es un espacio topologico (A,T) (equivalentemente que T es una topología sobre A) si:

i) El conjunto vacio O y el conjunto total (A) pertenecen a T.

ii) La intersección finita de elementos de T es elemento de T (es decir, que si cojemos un número finito de elementos de T y hacemos su intersección, es decir los
elementos en común, el conjunto resultante esta en T)

iii) La unión (finita o no, incluso no numerable) de elementos de T es elemento de T.

A los elementos de T se les llama abiertos.

En resumen, tenemos un conjunto (por ejemplo los alumnos de una clase de matemáticas), y a partir de ese conjunto hacemos conjuntos (grupos de alumnos). Entonces básicamente si la interseccion y la union de esos conjuntos es otro conjunto de los que hemos hecho (grupo), entonces hemos hecho una topología (nuestra clase se ha convertido en un espacio topologico XD)
No es trivial definir una topología, y dado un conjunto a veces pueden darse varias topologías.

Por ejemplo, sean los numeros enteros Z.
Sean T1={ O, numeros enteros, numeros pares, numeros impares}
T2={ O, numeros enteros, numeros negativos, numero positivos o nulos}
Entonces (Z, T1), (Z, T2) son espacios topologicos con el mismo conjunto base.

La definición anterior es muy general (podemos convertir cualquier conjunto en un espacio topologico!). Generalmente se trata de toplogías que no sirven para nada, salvo para diversión.
El caso más trivial es (A, P(A)). A esta topologia se la llama topologia discreta.
Tened la idea que una topologia es una manera de distinguir entre elementos (puntos) de un conjunto (es algo parecido a una distancia, pero más general). Por lo tanto si la topología es P(A) es como si pudieramos distinguir cualquier elemento de A (puesto que cualquier elemento de A también los es de P(A) por definición de P(A). De ahi el nombre de discreta.
En el caso opuesto tenemos la topología indiscreta, que solo tiene dos elementos O y A.
Ve todos los elementos como el mismo.
El los ejemplos anteriores T1 solo distingue entre números pares e impares y T2 entre negativos y no.
Tenede en cuenta que una topologia es algo más que una partición del conjunto, las propiedades que debe cumplir de intersección y unión serán muy importantes.

Existen casos particulares como las topologias metricas, normadas y escalares.
Cuando en un espacio tenemos definida una distancia (una métrica) entonces podemos definir una topologia de manera automatica a partir de las "bolas" (una bola centrada en x y de radio r)
son los elementos que distan a un a distancia MENOR que r de x. Lo de menor es importante para definir los abiertos.
Una norma permite definir una distancia, y un producto escalar implica una norma y por tanto una métrica, y de ahi que lleven a poder definir topologías.