Números irracionales

Vamos a ver algunos ejemplos de números irracionales, es decir que no se pueden escribir como el cociente de dos enteros.
La raíz de un número primo es irracional.

Esta demostración es mía, espero que este bien jeje.
Sea x^n = p (el gorrito es elevado a)
Supongamos que fuese racional x=a/b con a y b enteros y no simplificables.
Tenemos (a/b)^n = p
Multiplicando por b^n tenemos
a^n=p*b^n
Luego p*b^n debe ser divisible por a lo que es imposible.

e es irracional

Aquí teneís la demostración, no es complicada.
Demostración

pi es irracional

Esta es una demostración de Ivan Niven:



Existen además números que aún no se sabe si son irracionales o no, como por ejemplo las constante de Euler lim (1+1/2+1/3+......+1/n - log n)

Sin un número es irracional su raíz n-esima también lo es. Pensad que si no lo fuera a elevarlo a la potencia n sería racional, lo que contradice la hipótesis de partida.
Sin embargo el producto de número irracionales no tiene porque ser irracional, por ejemplo las raíz cuadrada de 2 por si misma es entera... (los números irracionales no son un conjunto algebraicamente cerrado)

Existen además un tipo de números mas irracionales que los irracionales, los numeros transcendentes. Existe una definición general, pero en este caso un número es transcendente
si no es raíz ningún polinomio con coeficientes racionales. Es decir que no podemos construir de manera algebraica un número transcendente a partir de los racionales.
Por ejemplo pi y e son transcendentes (su demostración es complicada).
Aquí teneís más.
Este es el celebre teorema de Gelfond-Schneider, que nos dice como construir facílmente números transcendentes.

Cuantos números irracionales y transcendentes hay?
Al principio se pensaba que serían casos raros, pero es todo lo contrario.
Se puede demostrar que los números racionales son numerables. A cada número racional se le puede asociar un numero entero. Tienen lo que se llama el mismo cardinal, alef 0.
Sin embargo a los reales no, su cardinal se llama alef 1, el cadinal del continuo.
Son lo que se llaman números trasfinitos (ambos son en el fondo infinitos).
Es decir que los irracionales también tienen el cardinal del continuo.
Más sorprendente fue descubrir que los números transcendentes también tienen el cardinal del continuo.
Es decir, que dentro de los número reales, los números "raros" son los racionales.

Hablando de cardinales, existe la llamada hipótesis del continuo, que postula que no existe ningun cardinal entre el de los racionales y los reales. No nos hemos dejado nada entre medio.
Es una proposición indemostrable, como se demostró...
hipótesis del continuo
Esto esta en relación con como se construyen los números reales R a partir de los racionales Q.
En el fondo es R más o menos igual a P(Q) por lo que no es de extrañar que
alef 1 más o menos igual a 2 elevado a alef 0.
Es todo una manera de hablar, de nuevo las cosas "obvias" no se explicitan en matemáticas.