Números complejos

La razón por la que se crearon los números complejos es puramente algebraica.
La ecuación x*x + 1 = 0 no tiene solución para los números "normales" (los que teóricamente podemos construir en la realidad).
Para resolver dicha ecuación hace falta un elemento que al multiplicarlo por si mismo de menos 1 (el elemento neutro de la multiplicación).
Esto puede conseguirse con matrices, pero es un álgebra no conmutativa y además hacen falta 4 elementos (matrices 2x2).
La solución más sencilla fue inventarse los números complejos.
Un números complejo z es un par de de números reales (a, b) con la siguiente álgebra:

-) Suma: z1 = (a1, b1) z2 = (a2, b2)
z1+ z2 = (a1 + a2, b1 + b2)

-) Multiplicación: z1 + z2 = (a1*a2 - b1*b2, a1*b2 + a2*b1)

Es fácil ver que (1,0) es el elemento neutro, y que cada número complejo tiene su opuesto y su inverso. Además son communtativas, distributivas y asociativas. Con estas operaciones los números complejos son lo que se llama un cuerpo.

El elemento (0,1) cumple la siguiente propiedad:

(0,1)*(0,1)= (0-1, 0+0) = (1,0)

Es decir, su cuadrado es menos la identidad, que es justo lo que buscábamos.
A (0,1) se le llama unidad imaginaria y se denota i.
Todo número complejo z = (a,b) puede escribirse de esta manera:

z = (a,0)*(1,0) + (b,0)*i

A los números de la forma (x,0) se los identifica con los reales pues se comportan exactamente igual (son lo que se llama isomorfos a ellos) y
así escribimos z= a+bi, sabiendo que z, a , b, i son números complejos.
Igual que cuando decimos que i es la raíz cuadrada de -1, este -1 es el número complejo (-1,0) no el número real -1. Un número real tiene cuadrado positivo o nulo.
Una consecuencia de esto es que los números complejos no se pueden ordenar de mayor a menor, no existe ninguna manera de ordenarlos bien.

Bueno, tenemos el objetivo cumplido, pero del todo?
Tiene todo polinomio solución dentro de los números complejos?
La respuesta es el teorema fundamental del álgebra, y dice que si.
Sea p(z) un polinomio de orden n, entonces existe w complejo tal que
p(w) = 0.

Existen numerosas demostraciones de este teorema. Pero lo más curioso es que no existe, que yo sepa, ninguna demostración puramente algebraica (es decir que derive directamente de las operaciones que acabamos de definir).

Aunque el motivo por el que aparecieron los números complejos era algebraico, es un asunto mucho más complejo de lo esperado.
Montones de hechos matemáticos que resultaban misteriosos, tuvieron su explicación al desarrollarse las teorías de variable compleja.
No hay más que fijarse en esta expresión (identidad de Euler):



Aquí tenemos los números clásicos, e, pi, 1 y 0. Los números complejos son lo que faltaban para el cuadro.

Muchas teorías en física se expresan de manera natural al usar números complejos.
Parece como si el Universo realmente fuera matemático, ya que los números imaginarios lo describen mejor.